上海师范大学2023年研讨生入学考试数学分析试题答复(上海师范大学2024年寒假放假时间)--考研网上

shnu202301设 ,记
求的表达式.
解因为 ,故有 ,进而
shnu202302答复下列疑问.
(1)设 ,且 .证明: 在上共同接连.
证法1因为 ,故对任意的 ,都存在 ,使得对任意的 ,有 .因为 ,故在上共同接连,即存在 ,使得对任意的 ,当时,有 .故对任意的 ,当时,有 .
证法2对任给的 ,存在 ,当时,树立 .又因为 ,故在上共同接连,即存在 ,使得对任意的 ,当时,有 .断语当对任意的 ,当时,有 .若则无疑问.若 ,则有
(2)设为正实数,断定使在上共同接连的的规模以及使在上纷歧致接连的的规模.
证明当时, 在上共同接连.下阐明当时, 在上共同接连;当时, 在上纷歧致接连.
case1 当时,因为在上共同接连,下阐明它在上也共同接连.留心到 ,对任意的 ,存在 ,只需 ,就有 .
case2 当时,取 ,满足 .但
n^\lambda\left[\left(1+\dfrac{1}{n^\lambda}\right)-1\right]=1, \end{aligned}" data-formula-type="block-equation">
故在上纷歧致接连.
shnu202303用cauchy收敛原则证明闭区间套定理.
证明界说闭区间套如下: 满足 ,对任给的 ,存在 ,对任意的 ,满足
故由cauchy收敛原则可知收敛,相同可得到收敛.记 ,则有
下证明老是树立的.若否则,则存在 ,使得 ,取 ,存在 ,对任意的 ,有 ,即
这标明 ,即 ,这与闭区间套界说敌对.
shnu202304求并判别在处是不是接连以及是不是可微,其间
解使用在邻近树立不等式 ,留心到
而,由夹逼原则可知,故在处接连.再核算可知
进一步思考所以有使用极坐标改换核算得到记则使用taylor打开得到右端分子的阶的估量为故上式极限为有必要 ,此时在处可微,否则不可以微.
shnu202305求椭球面与平面的交线所围图形的面积.
解界说
上述三式别离乘以后相加,使用捆绑条件得到 ,代入 ,就有 ,若 ,则 ,此时 ,不合题意.故类似地将代入和可得再代入 ,就得到了 .由此算出的和为条件驻点对应的函数值,因为捆绑集结是有界闭集,故的最值存在.由vieta定理可得
shnu202306谈论数项级数的敛散性.
解留心到所求级数的敛散性等价于的敛散性.
case1 当时,即时,原级数必定收敛.
case2 当时,即 ,由leibniz区别法可知原级数收敛,但是发散的,故此时原级数条件收敛.
case3 当 ,即时,原级数发散.
shnu202307核算级数的和.
解因为该幂级数在上共同收敛,故人流求和和积分次序,有
进一步有
所以.
shnu202308记为所围曲线,规则逆时针方向为正方向,其间 ,核算积分
解取途径 ,记
有记所围区域为 ,由green公式可知
shnu202309记.核算积分
其间为曲面上指向轴负方向上的单位向量.
解记曲面,方向朝上.由和所围的区域为 ,由gauss公式核算可知
shnu202310求积分 .
解法1(三角换元)核算可知
解法2(累次积分交流次序)核算可知
故所求积分值为 .
解法3(引入含参变量积分)思考含参变量积分
有 ,咱们只需要算出即可,又被积函数在的矩形区域上满足

接连与关于的偏导数接连,故类似解法2,得到进而故即为所求.
解法4(幂级数打开)留心到当时,有如下必定收敛的幂级数
故由幂级数乘法得到由幂级数的性质对上式在到上求积分,有
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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