2007年考研数学三真题及无缺解析(2007年考研数学一难度)--考研网上

1、2007年研讨生入学考试数学三试题一、选择题:110小题，每题4分，共40分.在每题给出的四个选项中，只需一项契合标题需求，把所选项前的字母填在题后的括号内(1) 当 x0时，与、x等价的无量小量是(a) 1e荻(b) in 一(c) j1 云 1 1仮(2)设函数f(x)在x 0处接连，以下出题差错的选项是:(a )假定lim型存在，那么f (0)0x 0 x(b)假定lim他存在，那么f (0)0x 0 x(b )假定 limf(x) f( x)x 0存在，那么f (0)(3)如图，接连函数y f(x)在区间2,0 , 0,2(a)f(3)(c) f(3)(4)(a)(c)x(d)假定

2、lim f(x) f( x)存在，那么x 03, 2 , 2,3上的图形别离是直径为xf(t)dt ,f (0)1的上、下半圆周，在区间那么以下结论正确的选项是:(d)f(3)54f(2)设函数f(x,y)接连，那么二次积分1dxsin xf(x,y)dy 等于1dyf (x,y)dx0arcs in y1

arcs in ydy_ f(x,y)dx2(5 )设某产品的需要函数为 q1602p，其间q,p别离标明需要量和价格,假定该产品需要弹性的必定值等于1,那么产品

3、的价格是(a)10.(b)20(c) 30.(d)40.(6)曲线y in 1 ex的渐近线的条数为x(a) 0.(b) 1.(c) 2.(d) 3.(7 )设向量组1, 2,3线性无关，那么以下向量组线性有关的是线性有关，那么(a)12, 23 ,31(b)12 ,23,31(c)1 2 2, 223,321(d)1 2 2, 2 23,321 . 21 1100(8)设矩阵a12 1,b010 ，那么a与b11 2000(a)合同且类似(b)合同，但不类似(c)不合同，但类似.(d)既不合同也不类似(9)或人向同一方针独立重复射击，每次射击射中方针的概率为p(0 p 1)，那么此人第4次射

4、击刚好第2次击中方针的概率为2 2(a)3p(1 p) .( b)6p(1 p).(c)3p2(1 p)2.(d)6p2(1 p)2(10)设随机变量 x,y遵守二维正态分布，且 x与丫不有关，fx(x), fy(y)别离标明x,y的概率密度，那么在y y的条件下,x的条件概率密度fxy(x| y)为f (x)(a) fx(x).(b) fy(y). (c) fx(x)fy(y). (d) x .fy(y)、填空题:1116小题，每题4分，共24分.把答案填在题中横线上(11)-x3x213 (sin x cosx) xiimx2x(12)设函数y1 ，那么 y(n)(0)2x 3(13)设f

5、 (u, v)是二兀可微函数，z f ,，那么x y x yx y3(14)微分方程dy11_y满足yx 11的特解为ydxx2x0100(15)设矩阵a0010，那么a3的秩为000100001(16)在区间 0,1中随机地取两个数，那么这两个数之差的必定值小于一的概率为2三、答复题:1724小题，共86分化容许写出文字阐明、证明进程或演算进程 (17)(此题总分值10分)设函数yy(x)由方程y in yx y 0断定，试判别曲线 yy(x)在点(1,1)邻近的凹凸性(18)(此题总分值11分)设二元函数f (x, y)x2,|x| |y| 11，核算二重积分 f (x, y)d ，其间-

6、2, 1 |x| lyi 2d .x yd x,y |x|y| 2(19)(此题总分值11分)设函数f (x), g(x)在a,b上接连，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a) g(a), f(b) g(b)，证明:存在 (a,b)，使得 f ( ) g ().(20)(此题总分值10分)将函数f (x)2打开成x 1的幕级数，并指出其收敛区间x3x4(21)(此题总分值11分)x1x2x30设线性方程组x12x2ax3 0与方程x1 2x2 x3 a 1有公共解，求a的值及一切公共解.x14x2a2x30(22)(此题总分值11分)设三阶对称矩阵a的特征向量值11

7、, 2 2, 32 ,1 (1, 1,1 )是a的归于1的一个特征向量,记b a5 4a3 e ,其间e为3阶单位矩阵(i) 验证1是矩阵b的特征向量，并求 b的悉数特征值与特征向量;(ii) 求矩阵b.(23)(此题总分值11分)设二维随机变量(x,y)的概率密度为2 x y, 0 x 1,0 y 1 fz)0,其他.(i) 求 p x 2y ；(ii) 求z x y的概率密度.2007答案1.【分析】此题为等价无量小的断定，使用界说或等价无量小代换即可【详解】当 x 0 时，1ex:j7,v1vx1: 1 jx, 1cos jx:- 7x x,2 2 2故用打扫法可得正确选项为(b)实际上

8、,ln(1 x) ln(1xiim 1 x 1. x 2 xx 012, xx o(x) 、x 0( x) :. x 或 in 1 二 ln(1 x) ln(1 j7)1. x所以应选(b)【评注】此题为关于无量小量比照的基此题型，使用等价无量小代换可简化核算类似例题见?数学温习攻略?(经济类)第一篇【例 1.54】【例1.55】2.【分析】此题查询可导的极限制义及接连与可导的联络.因为题设条件富含笼统函数，此题最简练的办法是用赋值法求解，即取契合题设条件的特别函数f (x)去进行判别，然后选择正确选项【详解】取f (x) |x|，那么lim丄一0，但f(x

9、)在x 0不可以导，应选(d).x 0 x实际上，在(a),(b)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也有必要为0，那么可推得f(0)0.在(c)中，lim f (x)存在，那么 f (0)0, f (0) limf (x)f-(0)lim f (x)0，所以(c)项正确,x 0 xx 0 x0x 0 x应选(d)【评注】关于题设条件含笼统函数或备选项为笼统函数方法成果以及数值型成果的选择题，用赋值法求解一般能收到奇效.类似例题见文登强化班笔记?高级数学?第2讲【例2】,文登07考研仿照试题数学二第一套(2).【分析】此题本质上是求分段函数的定积分可得3【详解】使用定积分的几许意义,1f(

10、3) 2123，f(2)822f( 2)f (x)dx2f(x)dx 0f (x)dx|f(2)，应选(c).所以f(3)3 f(2)4【评注】此题属基此题型.此题使用定积分的几许意义比照简练类似例题见文登强化班笔记?高级数学?第5讲【例17】和【例18】，?数学温习攻略?(经济类)第一篇【例3.38】【例3.40】.4【分析】此题替换二次积分的积分次序，先根据二次积分断定积分区域，然后写出新的二次积分【详解】由题设可知，一 x,sinx y 1，那么0 y 1, arcsiny x ,2故应选(b).【评注】此题为基础题型.画图更易看出.类似例题见文登强化班笔记?高级数学?第10讲【例5】，

11、?数学温习攻略?(经济类)第一篇【例7.5】,【例7.6】.5.【分析】此题查询需要弹性的概念【详解】选d产品需要弹性的必定值等于dq pdp q2p160 2pp 40,应选d.【评注】需掌控微积分在经济中的使用中的边缘，弹性等概念有关公式及例题见?数学温习攻略?经济类第一篇【例 11.26.【分析使用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，笔直渐近线和斜渐近线，然后判别【详解lim xy limx1 lnx1x e,limxylim -xxln 1 ex0 ,所以y0是曲线的水平渐近线；limylim 2, 3规划的另一贯量组 1, 2, 3的线性有关性一般令ln 1x e，所以x

12、0是曲线的笔直渐近线；x 0x 0 x1in 1x eln1exx elimylim -0limlim1ex1,xxxxxxx1blimy xlim1ln 1x ex0 ,所以yx是曲线的斜渐近线xxx应选d【评注此题为基此题型，应熟练掌控曲线的水平渐近线，笔直渐近线和斜渐近线的求法留心当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在.此题要留心ex当x ,x时的极限不一样.6讲第4节【例12,?数学温习攻略?经济类第一篇【例类似例题见文登强化班笔记?高级数学?第7.【分析此题查询由线性无关的向量组a，假定a0，那么1, 2, 3线性有关；假定a0 ,那么1, 2, 3线性无关但5.30,【例 5.31

13、.思考到此题备选项的特征，可经过简略的线性运算得到正确选项【详解由1223310可知应选a).或许因为10110 112,23 ,311,2,3110 ，而11 00 ,01101 1所以12,23,31线性有关，应选a)【评注此题也可用赋值法求解，如取 11,0,0 t,20,1,0t,30,0,1 t,以此求出(a), ( b), (c),d 中的向量并别离构成一个矩阵，然后使用矩阵的秩或部队式是不是为零可当即得到正确选项完全类似例题见文登强化班笔记?线性代数?第3讲【例3,?数学温习攻略?经济类?线性代数?a的特征值，并思考到实对称矩8【分析】此题查询矩阵的合同联络与类似联络及其之间的联络

14、，只需要得阵a必可经正交改换使之类似于对角阵，便可得到答案【详解】由 e a11(3)2可得 123, 30，2所以a的特征值为3,3,0 ;而b的特征值为1,1,0.所以a与b不类似，可是 a与b的秩均为2,且正惯性指数都为 2,所以a与b合同，应选b 【评注】假定矩阵a与b类似，那么a与b具有相同的部队式，相同的秩和相同的特征值所以经过核算 a与b的特征值可当即打扫a c.完全类似例题见?数学温习攻略?经济类第二篇【例 5.17.9【分析此题核算贝努里概型，即二项分布的概率要害要搞清所求作业中的成功次数【详解p=前三次仅有一次击中方针，第4次击中方针1 2 2 2c3p1 p p 3p

15、1 p,应选c.【评注此题属基此题型类似例题见?数学温习攻略?经济类第三篇【例1.29【例1.3010.【分析此题求随机变量的条件概率密度，使用x与y的独立性和公式fxy也可求解.fyy【详解因为 x,y遵守二维正态分布，且 x与y不有关，所以x与y独立，所以fx,y fxxfyy. 故fx|yx|y便卫邑凶他 fxx，应选a.|fyyfyy【评注假定 x,y遵守二维正态分布，那么 x与y不有关与x与y独立是等价的.完全类似例题和求法见文登强化班笔记?盖尤踣与数理计算?第3讲【例3,?数学温习攻略?经济类第三篇第二章常识点精讲中的一4,二3和【例2.3811.【分析此题求类不决式，可使用“抓

16、大头法和无量小乘以有界量仍为无量小的结论【详解因为limxx3x2 1x3limx2x2x 2x31电2x0,| sin x cosx | 2 , 1所以limxx3 x212xx3(sin xcosx)0.【评注无量小的有关性质:1有限个无量小的代数和为无量小；2有限个无量小的乘积为无量小；3无量小与有界变量的乘积为无量小完全类似例题和求法见文登强化班笔记?高级数学?第1讲【例1】，?数学温习攻略?经济类第篇【例1.4312,.【分析此题求函数的高阶导数，使用递推法或函数的麦克老林打开式【详解y12x 32x 3 巧，那么 ynx(1)n 2n n!(2x 3)n 1，故 yn0(1)n 2

17、n n!3n1【评注此题为基础题型完全类似例题见文登强化班笔记?高级数学?第2讲【例21,?数学温习攻略?经济类第一篇【2.20,【例2.21.13.【分析此题为二元复合函数求偏导，直接使用公式即可【详解使用求导公式可得2 f1 丄 f2，x yz1 fxf12f2 ，yxy所以x z y -2fdf2xyxy【评注二元复合函数求偏导时，最佳设出中心变量，留心核算的正确性完全类似例题见文登强化班笔记?高级数学?第 9讲【例8 ,【例9，?数学温习攻略?经济类第一篇【例6.16,【例6.17,【例6.18.14.【分析此题为齐次方程的求解，可令【详解令u y，那么原方程变为xduu x dxd

18、u3udx2x两端积分得12u21 in x21ln c ,211訐即x euc，将y1代入左式得故满足条件的方程的特解为exxln x 1【评注此题为基础题型.7讲【例2 ,【例3，?数学温习攻略?经济类完全类似例题见文登强化班笔记?高级数学?第第一篇【例9.3. 15【分析先将a求出，然后使用界说判别其秩0100000100103 0000【详解aa3r(a) 10001000000000000【评注】此题为基础题型矩阵有关运算公式见?数学温习攻略?经济类第二篇第二章第 1节中的常识点精讲16【分析】根据题意可得两个随机变量遵守区间0,1上的均匀分布，使用几许概型核算较为简练【详解】使用

19、几许概型核算图如下:所求概率sasd1 1221【详解方程y l n y x y0两端对x求导得y l n yy 1 y 0,y即y (2in y) 1，那么y(1)12上式两端再对x求导得y (2lny)2y 0【评注】此题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后使用它们的独立性求得所求概率完全类似例题见文登强化班笔记?盖尤踣与数理计算?第3讲【例11】，?数学温习攻略?经济类第三篇【例2.291，【例2.47.17.【分析由凹凸性区别办法和隐函数的求导可得y1那么y 1-，所以曲线y yx在点1,1邻近是凸的.8【评注此题为基础题型类似例题见文登强化班笔记?高级数学?第6讲【例10,?数学复

20、习攻略?经济类第一篇【例5.29.18.【分析】因为积分区域关于 x, y轴均对称，所以使用二重积分的对称性结论简化所求积分【详解】因为被积函数关于 x,y均为偶函数，且积分区域关于x, y轴均对称，所以f (x, y)ddf(x,y)ddi，其间di为d在第一象限内的部分而 f (x, y)ddix2dx y 1,x 0,y 02 2x y1 x y 2,x 0,y 01x212 x1dx x dy dxdy0001 x227x y1_,_in 1,2 .1222 x1所以 f (x, y)dd-4、.2ln 12 .3【评注】被积函数包括|22x y时，可思考用极坐标，答复如下:1f (

21、x, y)dd1 x y 21xy2x y02sin cos1sin cosx 0, y 0x 0, y 0dr类似例题见文登强化班笔记?高级数学?第10讲【例1】，?数学温习攻略?(经济类)第一篇【例 7.3例 7.4.19.【分析由所证结论f ( ) g ()可联想到规划辅佐函数f(x) f (x) g(x)，然后根据题设条件使用罗尔定理证明【详解令f(x) f (x) g(x)，那么f(x)在a,b上接连，在(a,b)内具有二阶导数且 f(a) f(b) 0.(1) 假定 f(x),g(x)在(a,b)内同一点 c 获得最大值，那么 f (c) g(c) f(c) 0 ,所以由

22、罗尔定理可得，存在1 (a,c), 2 (c,b)，使得f ( 1) f ( 2)0.再使用罗尔定理，可得存在 (1,2)，使得f ( ) 0，即f ( ) g ().(2) 假定f(x),g(x)在(a,b)内不一样点“q获得最大值，那么f(cj g) m，所以f(g) f(cj g(cj 0,fg) f(q) gg) 0,所以由零值定理可得，存在 c3 (g,c2)，使得f(c3) 0所以由罗尔定理可得，存在i (a,c3), 2 (c3,b)，使得f ( i) f ( 2)0.再使用罗尔定理，可得，存在 (1, 2)，使得f ( ) 0，即f ( ) g ().【评注】对出题为

23、f(n)( )0的证明，一般使用以下两种办法:办法一:验证为f(n (x)的最值或极值点，使用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；办法二:验证f(n1)(x)在包括x于其内的区间上满足罗尔定理条件.4.5】,类似例题见文登强化班笔记?高级数学?第4讲【例7】，?数学温习攻略?(经济类)第一篇【例4.6】.20.【分析】此题查询函数的幕级数打开，使用直接法【详解】f (x)3x 4(x4)(x 1)，而13n(x0 3n11)n, 22n1所以f(x)(x(du 1)n2* 18 1)n,3.收敛区间为1 x【评注】请记住常见函数的幕级数打开完全类似例题见文登强化班笔记8.15

24、】.?高级数学?第11讲【例13】，?数学温习攻略?(经济类)第篇【例nn1) (x 1)2n21.【分析】将方程组和方程兼并，然后使用非齐次线性方程有解的断定条件求得a.【详解】将方程组和方程兼并，后可得线性方程组为 x2 花 02x2ax304x2a2x302x2x3a 1其系数矩阵111011 10-12a001 a 10a2214a003 a 10121a 101 0a 11 1 1 00 1 a 1 00 0 a2 3a 2 00 0 1 a a 11 1 1 00 1 a 1 00 0 1 a a 10 0 (a 1)(a 2) 0显着，当 a 1,a 2 时无公共解 .当 a

25、1 时，可求得公共解为当 a 2 时，可求得公共解为tk 1,0, 1 ,k 为任意常数；0,1, 1经济类)第二篇【例【评注】此题为基础题型，查询非齐次线性方程组解的断定和规划 . 完全类似例题见文登强化班笔记?线性代数?第 4 讲【例 8】，?数学温习攻略? 4.12】，【例 4.15】 .13 1 1 2 1 ，22【分析】此题查询实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质【详解】(i)b 1 a5 4a3 e 1 1 1 4那么1是矩阵b的归于一2的特征向量同理可得b 225 4 23 1 22 ，b33.所以 b 的悉数特征值为 2，1，设b的归于1的特征向量为2 (x1,x2,x3)

26、t ，显着 b 为对称矩阵，所以根据不一样特征值所对应的特征向量正交，可得即 x1x2 x30，k1 (1,0,1)tt120.解方程组可得b的归于1的特征向量k2 (0,1,0) t ，其间 k1,k2 为不全为零的任意常数由前可知b的归于一2的特征向量为k3(1, 1,1)t，其间k3不为零.1 0 1100ii )令 p-1011 ，由(i)可得 p- bp010 ，那么1 0 1002【评注】此题首要查询求笼统矩阵的特征值和特征向量，此类疑问一般用界说求解，要想方设法将题设条件转化为axx的方法请记住以下结论:(1)设是方阵a的特征值，那么ka, aa be,a2, f (a),

27、a 1, a*别离有特征值k ,a b, 2, f ,-, a可逆，且对应的特征向量是相同的2对实对称矩阵来讲，不一样特征值所对应的特征向量必定是正交的完全类似例题见文登强化班笔记?线性代数?第5.24 】讲【例12】,?数学温习攻略?经济类第二篇【例23.【分析】i可化为二重积分核算;ii使用卷积公式可得【详解】ip x 2y2 x yx 2ydxdy1dx0ii使用卷积公式可得fz(z)f(x,z x)dxz(2 x)dx,01z 1(2 x)dx,0,2z(2其他2,zz)20,z其他2.【评注】ii也可先求出分布函数，然后求导得概率密度?盖尤踣与数理计算?完全类似例题见文登强化班笔记济类

28、第三篇【例 2.38】，【例2.44.第3讲【例10】，【例11】，?数学温习攻略?经24此题总分值11分设全体x的概率密度为1厂f(x)-2(1 )0,其他xj,x2，,xn为来自全体x的简略随机样本，x是样本均值.i求参数的矩估量量ii判别4x2是不是为2的无偏估量量，并阐明理由【分析】使用ex2x求i;判别e 4x【详解】i exxf (x)dxdx21 x ,1dx2 1242x(ii)e 4x24e x24 dx2ex4 -dx2exne 4x24 2dx2ex1丄21丄n3n3n1 _5_412n一、222x .ix2 2 1而exx f(x)dxdx-dx0 :2 133 6所以dx2225exex 12 1248所以故4x2不是2的无偏估量量【评注】要熟练掌控全体不知道参数点估量的矩估量法，最大似然估量法和区间估量法经济类第三完全类似例题见文登强化班笔记?盖尤踣与数理计算?第5讲【例3】，?数学温习攻略?篇【例6.3，例6.6，例6.9】，

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