第15章分析力学基础
1．如图15-1所示，物块A的质量为m1，B轮的质量为m2，半径为R，在水平面做无滑动滚动。轮心用刚度为k长度为l的弹簧与物块A相连，物块A与水平面间为光滑接触。试以X1，X2为广义坐标，
（1）写出系统的动能及势能及拉格朗日函数；
（2）写出系统的第二类拉格朗日方程；
（3）求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分。[中山大学2011研]
图15-1
解：（1）系统的动能为：
系统势能为：
其中
为处于平衡位置弹簧的伸长量。
拉格朗日函数
（2）第二类拉格朗日方程
代入上一步的表达式，得
（3）求其首次积分。因拉格朗日函数中不显含时间t，故存在能量积分，系统机械能守恒，即
＝C C为常数
2．质量为m的重物悬挂在刚度系数为k的弹簧上，且在光滑的铅垂滑道中运动。在重物的中心处铰接一个质量为M、长为21的匀质杆，杆在铅垂平面内运动，如图15-２所示。
（1）试确定系统的自由度并选择广义坐标；
（2）写出系统的动能及势能及拉格朗日函数；
（3）写出系统的第二类拉格朗日方程；
（4）求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分。[中山大学2010研]
图15-2
解：
（1）以整个系统为研究对象，物块和杆均做平面运动，该系统具有两个自由度。选重物A的中心的垂直坐标y和杆的偏角
为广义坐标，如下图所示。因为作用在系统上的主动力即重力和弹性力均为有势力，所以可用拉格朗日方程式主动力有势形式求解。
（2）以A的中心C点为基点分析AB杆质心D的速度，如图15-3所示。
图15-3
根据速度合成公式有
。
系统动能为
选O为零势能点，设弹簧的原长为l0,则系统的势能为
故系统的拉格朗日函数为
（3）求各偏导数
将以上各式代入第二类拉格朗日方程
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