速成抢救考研高数·常用出题结论(7)·级数常用出题结论收拾合集...(考研高数速成课)--考研网上

本集为无量级数根柢概念、根柢出题、根柢办法的总联系集。
组织了较为紧密的联接，可一条龙学完级数。
序:? ? ??
? ? ? 作者主张“理+念化学习”——
? ? ? 两手都抓都硬的使命是树立健全正义化学科体系，与树立恰当的久经检测的学科观念或知道（比方整个高级数学通用的极限观、线性观、逻辑观、重演观、配凑观，还有一些不太通用但也比照重要的观念，比方“幂为阶之准”。）这两方面都是优良学科本质的重要构成有些。
无量级数与数列联络是亲近的，级数就是其项的数列的求和。
级数有关的根柢概念:

?????? 级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一同作为基础常识和东西呈如今其他各分支中。二者一起以极限为根柢东西，别离从离散与接连两个方面，联系起来研讨分析学的目标，即变量之间的依靠联络──函数。
根柢出题:无量级数的性质

? ? ? ?其间，一般项趋于0是级数收敛的必要条件，一般项不趋于零是级数发散的充分条件。假定令一般项趋于0变成某个级数收敛的充要条件，需加装条件使得一般项趋于0与级数有些和数列收敛是等价的才行。比方:

? ? ? ?这个加装的条件比照特别，所以性质愈加优良了。加装恰当的条件会改进级数的性质，咱们一般加装的条件是级数通项非负，即“正项级数”?? 。
根柢出题:正项级数的性质:

关于非正项级数，咱们给它取必定值后即可变换为正项级数，此时收敛情况称为必定收敛。
根柢概念:必定收敛、条件收敛

?????? 必定收敛是收敛的充分条件，收敛而不必定收敛的情况为条件收敛。审敛一般审发散、必定收敛或条件收敛，单说“收敛”则不可具体。关于断定条件收敛，必要的手续是先断定是不是为必定收敛，假定现已必定收敛了，则直接结束。如数一1996、二（3）。我画一张联络图:

条件收敛和必定收敛是互斥作业，不可以兼得。
{必定收敛*&条件收敛}时（*&标明条件掺杂），遵守充分性水桶拼接规则。
要领先行审必定收敛，再审条件收敛，根柢办法:审敛的一般流程:

正项级数的审敛是咱们所学级数审敛的干流。根柢定理:正项级数收敛定理:

? ? ? ?由上图知，所谓正项级数审敛法本质是查询有些和数列有界与否，根据是根柢定理:单调有界原则:单调有界数列必有极限。
? ? ? ?一般，标题会给出有些和数列有界的等价条件，常规操作是用不等式，这个具体幻术许多，比方根柢不等式、其他作业的一些用不等式描绘的性质。
介绍正项级数的三种常用审敛法（我将积分审敛法归结为一种特别的比照审敛法）
? ? ? ?关于正项级数的比照审敛法，运用宜事前树立健全常用来进行比照的敛散性已知的正项级数库、对待比照的正项级数进行方法辨认或库内匹配，关于库中应配备哪些呢？——根柢结论:常用来进行比照的正项级数

“准p级数”我也把它称为“r级数”:

? ? ? ?这个发散可以推广到p或r<=1,之所以捆绑<=0p级数的p要是等于

0，那就是常数1，要是<0，那就是正幂函数，必定发散，没有研讨的必要。∴咱们要点研讨的是负幂函数的级数。
? ? ? ?从该积分审敛法中咱们得以加深本集最初“级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一同作为基础常识和东西呈如今其他各分支中。二者一起以极限为根柢东西，别离从离散与接连两个方面，联系起来研讨分析学的目标，即变量之间的依靠联络──函数。”
? ? ? 库现已配备完全，略微反常的级数但有看起来像是比照友爱的广义积分时，可用积分审敛法，因为不管其为接连仍是离散，同一方法的敛散性是共同的，故我将积分审敛法归结为比照审敛法。根柢办法:正项级数的比照审敛法:

? ? ? ?上图的比照审敛法埋下了比值审敛法的彩蛋，比值审敛法是自审敛，无需凭仗于其他级数比较照，比值审敛法与根值审敛法皆为求ρ，
根柢办法:比值审敛法、根值审敛法:

?比值审敛法还可以因为比值不存在而失效，而根值则“健旺”一些。这也是根值审敛法比比值审敛法适用规模更广之地址。
根柢结论:根值审敛法常用结论:

根值审敛法在战术方位上一般为比值审敛法的弥补，比值审敛法还用于交错级数的莱布尼兹审敛法中检查必定值是不是递减。关于交错级数，根柢办法:莱布尼兹审敛法:

图像引证自baidu图像

但也有比照法:交错p级数的根柢结论:

? ? ? ?交错p级不偶怪的当地在于级数重排，必定收敛可任意重排，而条件收敛时成果因重排方法而异，比方交错和谐级数（p=1）成果=ln2,一重排成果可以收敛于另外数，也可以发散了。
? ? ? ?在许多类型的级数中，最重要的莫过于幂级数。幂为阶之准，一当将阶的比照量化为幂次的升降，作业就简略了许多。假定是幂次的级数，比方闻名的泰勒级数，将某些曲线用幂级数打开，化曲为直是研讨曲线的重要办法。千年以来，我们弄理解了线性是怎么回事，而研讨非线性疑问的首要办法是将其近似为线性。幂级数给出了具体是几阶近似的标准。
根柢概念:幂级数的根柢概念:

前史上阿贝尔主张幂级数打开只在收敛域有用，不能随意乱用，根柢定理:阿贝尔定理:

? ? ? ?根据阿贝尔定理，若幂级数不只收敛于一点，也不在整个数轴上收敛，则必定收敛于某个区间，必定值/间隔的方法，抉择了该区间是一个以底数为0的点中心对称的（开）区间。这个区间的长度即为收敛半径。至于区间端点，可以收敛也可以发散。

引证自baidu图像

根柢办法:求幂级数的收敛半径、收敛域:

? ? ? ?关于幂级数，假定缺项的，则直接用上述办法有分母=零的bug。所以可经恰当变形变换为不缺项的比方拆分、变量代换——根柢办法:缺项级数变量代换的比值审敛法

? ? ? ?需平移的话就平移，总之这个事不费事，有些费事的是幂级数中各种和函数和幂级数打开。两者是互为逆进程的。σ分→和叫幂级数的和函数，和→σ分是用幂级数打开。?
根柢办法:求幂级数的和函数:
调用前需树立健全一个常用幂级数的和函数公式库，并对待求和函数的幂级数进行库内方法辨认与匹配。最多见的是泰勒级数的和函数，即“泰勒折叠”（反向打开）。关于常见的泰勒级数的回想，我写了另一篇专栏速成抢救:高级数学·常见泰勒打开耐久性紧记
除了泰勒级数，还主张加装逐项求导型根柢公式:以等比级数求和公式为依托，

其收敛半径或许爽性说公比，都小于1
流程如下:
将pm(n)配凑成m阶导数方法
平移逆代换
提出x的幂次溢出因子
调用最底层的功用元——等比级数的求和公式。
挖坑之处在于首项从何时初步，别弄岔了。?
除了泰勒级数、等比级数的逐项求导变式，还要加装逐项求导再积分的:

总之，求和函数的办法是树立健全一个健壮的模型库，以令其充当功用元（最基础的功用元是等比级数，没有之一）。一起总结几种常用的方法辨认办法。
关于幂级数打开，其与求和是逆进程，但模型库并不必同一套。
根柢办法:幂级数的打开

? ? ? ?拽了点英文……不过大约不影响了解。但凡直接的，都是凭仗于已知的，但凡常用的已知的，就合适事前建库。学习在于建模，最结束果即为树立健壮的模型库与方法辨认身手。
? ? ? ?关于傅里叶级数，考点一般是狄利克雷收敛定理，小题能考个核算傅里叶系数，重演最完善的仍是下边这个:

比方将函数f(x)=10-x在[5<=x<=15]上展成以10为周期的傅氏级数。先延拓到[-5,5]上，然后再求傅里叶系数，这是个能求出来的分部积分，而且这个奇函数没有偶函数分量，所以这一个题重演得比照完善，能一举考好几个常识点。
但后来它非干流了，近几年都没有呈现。
本集完~

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