2014年考研数学二真题与解析(2014年考研数学二)--考研网上

1、2014年考研数学二真题与解析一、选择题 18小题每小题4分，共32分其时，若，均是比高阶的无量小，则的可以取值规模是（）（a）（b）（c）（d）【详解】，是阶无量小，是阶无量小，由题意可知所以的可以取值规模是，大约选（b）2下列曲线有渐近线的是（a）（b）（c）（d）【详解】关于，可知且，所以有斜渐近线大约选（c）3设函数具有二阶导数，则在上（）（a）其时，（b）其时，（c）其时，（d）其时，【分析】此题查询的曲线的凹凸性的界说及判别办法【详解1】假定对

曲线在区间上凹凸的界说比照了解的话，可以直接做出判别显着就是联接两点的直线方程故其时，曲线是凹的，也就是，大约选（d）【

2、详解2】假定对曲线在区间上凹凸的界说不了解的话，可令，则，且，故其时，曲线是凹的，然后，即，也就是，大约选（d）4曲线上对应于的点处的曲率半径是（）（）（）(）（）【详解】曲线在点处的曲率公式，曲率半径本题中，所以，对应于的点处，所以，曲率半径大约选（c）5设函数，若，则（）（）（）（）（）【详解】留心（1），（2）因为所以可知，6设在平面有界闭区域d上接连，在d的内部具有二阶接连偏导数，且满足及，则（）（a）的最大值点和最小值点必定都在区域d的鸿沟上；（b）的最大值点和最小值点必定都在区域d的内部；（c）的最大值点在区域d的内部，最小值点在区域d的鸿沟上；（d）的最小值点在区域d

3、的内部，最大值点在区域d的鸿沟上【详解】在平面有界闭区域d上接连，所以在d内必定有最大值和最小值而且假定在内部存在驻点，也就是，在这个点处，由条件，显着，显着不是极值点，当然也不是最值点，所以的最大值点和最小值点必定都在区域d的鸿沟上所以大约选（a）7部队式等于（a）（b）（c）（d）【详解】大约选（b）8设是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的（a）必要而非充分条件（b）充分而非必要条件（c）充分必要条件（d）非充分非必要条件【详解】若向量线性无关，则（，），对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所以向量，必定线性无关而其时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性相

4、关；故选择（a）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9 【详解】10设为周期为4的可导奇函数，且，则【详解】其时，由可知，即；为周期为4奇函数，故11设是由方程断定的函数，则【详解】设，其时，所以12曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为【详解】先把曲线方程化为参数方程，所以在处，则在点处的切线方程为，即13一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标【详解】质心坐标14设二次型的负惯性指数是1，则的取值规模是【详解】由配办法可知因为负惯性指数为1，故必需需求，所以的取值规模是三、答复题15（本题满分10分）求极限【分析】先用

5、等价无量小代换简化分母，然后使用洛必达规则求不决型极限【详解】16（本题满分10分）已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值【详解】解:把方程化为标准方法得到，这是一个可别离变量的一阶微分方程，两端别离积分可得方程通解为:，由得，即令，得，且可知；其时，可解得，函数获得极大值；其时，可解得，函数获得极小值17（本题满分10分）设平面区域核算【详解】由对称性可得18（本题满分10分）设函数具有二阶接连导数，满足若，求的表达式【详解】设，则，;；由条件，可知这是一个二阶常用系数线性非齐次方程对应齐次方程的通解为:其间为任意常数对应非齐次方程特解可求得为故非齐次方程通解为将初始条件代入，可得所

6、以的表达式为19（本题满分10分）设函数在区间上接连，且单调添加，证明:（1）；（2）【详解】（1）证明:因为，所以即（2）令，则可知，且，因为且单调添加，所以然后，也是在单调添加，则，即得到20（本题满分11分）设函数，界说函数列，设是曲线，直线所围图形的面积求极限【详解】，使用数学归纳法可得，21（本题满分11分）已知函数满足，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积【详解】因为函数满足，所以，其间为待定的接连函数又因为，然后可知，得到令，可得且其时，曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积为22（本题满分11分）设，e为三阶单位矩阵（1）求方程组的一个基础解系；（2）

7、求满足的一切矩阵【详解】（1）对系数矩阵a进行初等行改换如下:，得到方程组同解方程组得到的一个基础解系（2）显着b矩阵是一个矩阵，设对矩阵进行进行初等行改换如下:由方程组可得矩阵b对应的三列别离为，即满足的一切矩阵为其间为任意常数23（本题满分11分）证明阶矩阵与类似【详解】证明:设，别离求两个矩阵的特征值和特征向量如下:，所以a的个特征值为；而且a是实对称矩阵，所以必定可以对角化且；所以b的个特征值也为；关于重特征值，因为矩阵的秩显着为1，所以矩阵b对应重特征值的特征向量大约有个线性无关，进一步矩阵b存在个线性无关的特征向量，即矩阵b必定可以对角化，且然后可知阶矩阵与类似page 10 of 10

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