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做过线代讲义的话，20数一选择空间直线相交那题秒选，里边有类似例题，线代大题第二题也有类似的。线代第一题思路就要从早年真题双生类似那题找思路了。

高数数列和级数那题的题型也有，做过就晓得那题必定是解微分方程。中值那题可以用泰勒打开＋必定值不等式证，而且泰勒只需一阶打开，里边的题做过也会有主意。概率就不说了，没啥改变。1. 晓得部队式的概念，掌控部队式的性质. 2. 会用部队式的性质和部队式按行（列）打开定理核算部队式. 3. 会用克拉默规则. 第一节部队式的概念与性质 内容与办法概要 —、概念 1. 部队式的界说 □11 〃12 ... 心21 〃22 I A | =:: 其间标明摆放 m的逆序数，即I A |是一切在不一样行、不一样列的n个 元素乘积的代数和. 2, 部队式按行（列）打开公式 I A | = an An + aiZAa -\---- amA? = >=1 n =QijAi +a2jA2j + …+anjAnj = 习％—祈, .=i 其间A.,为七的代数余子式，即A, = （- ,M；,为| A |中去掉第i行及第j列元素 后的”一1阶部队式. 【阐明】a“A" +a,zA&+ "+曲人如=0 （i尹&）,即一行与另一行对应元素的代数 余子式的乘积之和为零. 1 2 3 此外,A,,与国的取值无关.例如，4 5 6第一行元素的代数余子式与 7 8 9 a b c 4 5 6第一行元素的代数余子式是相同的. 7 8 9 1李林考研数学系列线性代数辅导讲义 3.部队式的性质 （1） 部队式与它的转置部队式的值相等，即I A | = | AT |. （2） 若某行（列）有公因数妇可将k说到部队式符号外. （3） 两行（列）交换，部队式的值变号. （4） 将某行（列）的k倍加到另一行，部队式的值不变. （5） 若某行（列）一切元素都是两个数的和，则可将其写成两个部队式之和.例如, 【阐明】 部队式的性质是核算部队式的基础. +缶 。2 + b? 仅3 +缶 ai b、 b2 bi C2 = Cz Cs + Cl c2 C3 dx d? d3 4 d? da d\ d. 二、重要的部队式及定理 1.对角形部队式 an 0 0 0 0 =ana22u^an, 0 0 2 .三角形部队式 <211 口12 Qll

0 0 0 主: 0 。22 Q12 。22 =。1血2 0 副: 0 Q】i ,,, 4,1 Qi” 0 … 0 Qi” 々21 Q2.1 0 = 0 … ^2.n-l d2n 如 … 0 0 a?2 ??? 3.范德蒙德部队式 1 1 1 a? II (a, — a>). 4.分块部队式 设别离为m与〃阶矩阵，则 A C (1) =1 A || B I. O B O (2) =I A |

| B |. B A C O =(一 l)m” I A | | B I. B O 5.拉普拉斯定理 部队式可按任何奴1<&<“一1）行（列）打开，即在"阶部队式|中，可以任意选定互行（列），则含于此龙行（列）中的一切A阶子式与其代数余子式乘积之和为| A |的值. 【阐明】 拉普拉斯定理是部队式按行（列）打开公式的推广. = 0 -1 -1 0 0 【例如】。 1 2 3 4 5 6 7 8 _ 1 0 1 3 0 0 4 --1 X (- 1) 3+4+1+2 3 7 ，按第3,4行打开为 X (一 l)3+4+】+3 8 3 _ 1 4 2 3 X (- 1)3+，+* + 6 7 1 0 0 4 1 1 5 4 X (- 1严4+2+4 3 7 X (- 1严4+2+3 X (- 1严4+3+4 0 _ 1 0 0 3 + + _ 0 1 1 4 3 _ 1 2 6 1 5 1 5 4 8 4 8 2 6 + + 由拉普拉斯定理简略证明下列结论: O B C B C B I A | | B |, O B A A O =(一1广” | A | | B | , 其间分别为处X n,m X m,n X m矩阵. 三、有关部队式的重荽公式 （1） 若A是"阶矩阵，则||=足| A I. （2） 若A,B是同型方阵，则| AB | = | A | | B I. （3） 若A是n阶矩阵，则| A' | = | A K1. （4） 若A是”阶可逆矩阵，则| A-，| = | A r*. （5） 若A是n阶矩阵，且4的特征值为小，扇，…，摭，则I A | = AM2-A.. （6） 若A与B类似，则| A | = | B I. 【阐明】 ①本 是A的伴随矩阵，即A* =（A,）g，其间A是A中％的代数余子式. ② 伴随矩阵满足公式 AA' = A, A = | A | E. ③ | A* | = | A |i的证明见本章第二节“内容与办法概要 典型例题分析 题型一核算具体部队式 核算部队式一般使用部队式的性质，将其行（列）的元素尽量化为零，再按行（列）打开. 此外，行（列）加法、加边法、拆项法、递推法等也是常用办法.一些特别的部队式是常考点，如 箭形（爪形）部队式、三对角形部队式等. 【例1】核算n阶部队式 3手嬖研墅学系列以性代数辅导讲义 1 1 ??? 1 2 22 ??? 2" D? = 3 32 ??? 3" : ? n n2 ??? nN 解 查询D?的转置部队式D?,转化为范德蒙德部队式. 1 1 1 … 1 1 2 3 … n 1 2 3 … n D” = D?= 1 22 32 n2 =n\ 1 22 32 … n2 =n(.i-i) ? ? ? ? yv心 1 2" 3" ??? nn 1 2^1 31 … k =n! (2 — 1)(3 — !)??,(? 一 1) ? (3 — 2)(4 — 2)(n — 2)???[/! — (n — 1)] = 〃！（〃一1）!（处一2）!???2! ? 1!. 【例2】核算部队式 D4 = 1 1 1 1 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 4 解 部队式D形似箭形部队式,有时也称爪形部队式.使用主对角线元素将第1行（或 第1列）的有些元素化为零. D, = 1 1 1 三角形人_ 部队式\ ~2 ? 4 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 !T)X2X3X4 3 4 / =一2. 【注】①一般地，箭形部队式 =— ? 兀人2…兀（兀尹03 = 1,2, ???，〃）. Df1 = Ao b\ b2 a\ Ai 0 0-2 . 0 a2 - ,? an , 0 ?? 0 = i= 1 0 0 a\ Ai 0 a2 0 人2 ??? 0 0 ? ? ? b. 0 0 ,? A