2023年考研数学一真题及全面解析(Word版).doc(2023年考研数学一真题及答案)--考研网上

1、超级狩猎者整理第页2023年全国硕士研究生入学统一考试数学一考研真题与全面解析一、选择题:18小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 以下函数中在处不可导的是 a bc d【答案】()【解析】根据导数定义，a. ，可导；b., 可导； c. ，可导；d. ，极限不存在。应选.2. 过点，且与曲面相切的平面为 a bc d【答案】【解析一】设平面与曲面的切点为，那么曲面在该点的法向量为，切平面方程为切平面过点，故有，1，2又是曲面上的点，故，3解方程 123，可得切点坐标或。因此，切平面有两个与，应选

2、b.【解析二】由于不经过点和，所以排除cd。对于选项a，平面的法向量为，曲面的法向量为，如果所给平面是切平面，那么切点坐标应为，而曲面在该点处的切平面为，所以排除a.所以唯一正确的选项是.3. 【答案】【解析】因为而，应选。4. 设，那么 a bc d【答案】【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分那么最简化积分。，令，那么，当时，当时，故对，有，因而，故。应选.5. 以下矩阵中阵，与矩阵相似的是 a b c d【答案】【解析】记矩阵，那么秩，迹,特征值三重。观察四个选项，它们与矩阵的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，进一步分析可得:,，,

3、。如果矩阵与矩阵相似，那么必有与相似为任意常数，从而，应选a,6. 设是阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，那么 a b c d【答案】【解析】把矩阵按列分块，记，那么向量组可以由向量组线性表出，从而与，等价，于是，应选。7. 设随机变量的概率密度满足，且那么 ( )a0.2 b0.3 c0.4 d0.5【答案】【解析】由可知概率密度函数关于对称，结合概率密度函数的性质及条件，容易得出，应选。8. 设总体服从正态分布,是来自总体的简单随机样本，据此样本检测，假设那么 a如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平下必拒绝；b如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平下必接受；c如果在检验水平下接受

4、，那么在检验水平下必拒绝；d如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必接受。【答案】【解析】正确解答该题，应深刻理解“检验水平的含义。统计量 ,在检验水平下接受域为,解得接受域的区间为；在检验水平下接受域的区间为。由于，下接受域的区间包含了下接受域的区间，应选。二、填空题:914小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9. 假设，那么。【答案】【解析】 10. 设函数具有二阶连续导数，假设曲线过点，且与在点处相切，求。【答案】【解析】由条件可得:故 11、设函数，那么。【答案】【解析】故。12. 设是曲面与平面的交线，那么。【答案】【解析】先求交线:，由于曲面方程

5、与平面方程中的满足轮换对称性，因此在曲线上具有轮换对称性。又知由轮换对称性可得 :。13. 设二阶矩阵有两个不同的特征值，是的线性无关的特征向量，且满足，那么。【答案】【解析】设对应的特征值分别是，那么，由于线性无关，故，从而的两个不同的特征值为，于是。 14. 设随机事件相互独立，相互独立，,，,那么。【答案】【解析】,三、解答题:1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 此题总分值10分求不定积分.【解析】16. 此题总分值10分将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？假设存在，求

6、出最小值。【答案】面积之和存在最小值，。【解析】设圆的半径为，正方形的边长为，三角形的边长为，那么，三个图形的面积之和为，那么问题转化为 “在条件，下，

求三元函数的最小值。令解方程组，得到唯一驻点由实际问题可知，最小值一定存在，且在该驻点处取得最小值。最小面积和为.17. 此题总分值10分设是曲面的前侧，计算曲面积分.【解析】将空间曲面化成标准形以便确定积分曲面的形状。曲面前侧是一个半椭球面，补平面，取后侧，那么由高斯公式可得其中，由“先二后一法可得而。故.18. 此题总分值10分微分方程，其中是上的连续函数。i假设，求方程的通解；ii假设是周期为的函数，证明:方程存在唯一

7、的以为周期的解。【解析】i假设，那么，由一阶线性微分方程通解公式得。ii由一阶线性微分方程通解公式可得，由于在中无法表达出来，取，于是假设方程存在唯一的以为周期的解，那么必有，即. 由于为一常数，可知当且仅当时，以为周期，故微分方程存在唯一的以为周期的解。19. 此题总分值10分设数列满足。证明收敛，并求。【证明一】因为，所以。根据拉格朗日中值定理，存在，使得，即，因此。完全类似，假设，那么，即，故数列单调减少且有下界，从而数列收敛。设，在等式两边取极限，得，解方程得唯一解，故。【证明二】首先证明数列有下界，即证明:当时，。根据题设，由可知；假设

8、当时，；那么当时，，其中，可知。根据数学归纳法，对任意的，。再证明数列的单调性:，(离散函数连续化)设，那么当时，单调递减，即。从而，故，即数列的单调递减。综上，数列的单调递减且有下界。由单调有界收敛原理可知收敛。设，在等式两边同时令，得，解方程得唯一解，故。20. 此题总分值11分设二次型，其中是参数。i求的解；ii求的标准型。【解析】i由可得对上述齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换得当时，只有零解:。当时，有非零解:，为任意常数。ii当时，假设不全为0，那么二次型恒大于 0，即二次型为正定二次型，其标准型为。当时，二次型对应的实对称矩阵，其

9、特征方程为解得特征值，可知二次型的标准型为。21.此题总分值11分设是常数，且矩阵可经过初等列变换化为矩阵。(i)求；ii求满足的可逆矩阵？【解析】i由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，故。对矩阵作初等行变换，得，显然，要使，必有。ii将矩阵按列分块:，求解矩阵方程可化为解三个同系数的非齐次线性方程组:。对以下矩阵施以初等行变换得，易知，齐次线性方程组的根底解系为 :,三个非齐次线性方程组的特解分别为:。因此，三个非齐次线性方程组的通解为，从而可得可逆矩阵，其中。22此题总分值11分设随机变量相互独立，的概率分布为，服从参数为的泊松分布。令，i求；ii求的概率分布。【解析】i由相互独立，可得.。由协方差计算公式可知,其中，代入上式可得。ii由于是离散型随机变量，因此也是离散型随机变量。的可能取值为1，-1，的概率分布为，故的可能取值为于是，的概率分布为，。23. 此题总分值11分设总体的概率密度为，其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本，记的最大似然估计量为。i求；ii求和。【解析】i似然函数为取对数得，令，解得的最大似然估计量为。ii。,而，,故。

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