我国科学技能大学2022年数学分析考研真题及参阅答复数列定理导数...(国开大学科学与技术)--考研网上

[阐明]：假定公式闪现不全，请支配滑动公式无缺闪现.
ustc202201选择题(正确选项可以不只有,请写出选项号).
(1)积分
的值等于__ __.
a. b. c. d.积分不存在
解留心到被积函数是奇函数,而奇函数在对称区间上的积分为 .
(2)设函数可微且导数有界,则__ __.
a. 有界 b. 单调增 c. 共同接连 d. 单调减
解关于a,b而言取反例 ,关于d而言取反例 .
(3)已知 ,则等于__ __.
a. b. c. d.
解核算可知
(4)设接连函数满足 ,其间 ,则积分等于__ __.
a.
b.
c.
d. }
解令 ,则 ,留心到
(5)函数的界说域是__ __.
a. } b. c. d. 以上都不是
解核算可知收敛半径为 ,别离代入和验算即可.
(6)由下列哪个条件能判别数列收敛?__ __
a.对任意的正整数 ,有 .
b.存在 ,对任意的的正整数 ,有 .
c.存在和 ,对任意的正整数 ,有 .
d.对的任意两个子列和 ,都有 .
解关于a,有反例
(7)对有界数列 ,下面哪个说法可作为的界说?__ __
a.对任意的 ,有无限多个正整数 ,使得 ,一起存在至多有限个正整数使得 .
b.
c.
d. 在的右侧只需的有限多项且存在的一个子列单调添加趋于 .
解关于a和d而言,有反例
(8)函数在上有界说,在上接连,下面哪个条件能断定函数在上有最大值?__ __
a. 和均存在且有限.
b. .
c. ,且存在使得 .
d. ,且存在 ,使得 .}
解关于a而言,有反例
ustc202202核算积分 ,其间 .
解核算可知
ustc202203核算与所围的锥体体积,其间 .
解由柱坐标代换可知,记所围区域为 ,则
ustc202204核算积分
其间为球面的外侧, .
解记所围区域为 ,由球坐标代换和gauss公式核算可知
ustc202205设 ,证明: .
证明核算可知
因为即
ustc202206函数在区域上是不是共同接连?证明你的结论.
证明断语纷歧致接连,取
则,但
ustc202207设是一个接连函数,证明:方程
在中有且仅有一个根.
证明令 ,则 ,即在上递加,又 ,故在中有且仅有一个根.
stc202208设接连可导, ,且时,有证明: 存在,且
证明由题意可知 ,故在上单调递加,进一步有
ustc202209设函数在上有二阶导数,当时,有 ,当时,有 ,证明: 在处不可以微.
证明若否则,则在处可微,由darboux定理可知 ,且是的极小值点,但当时,有
这与在上单调递加敌对,故在处不可以微.
ustc202210设
其间 ,证明:存在数列使得且对共同树立.
证明由和差化积公式可知
故要找到一个数列 ,满足且即可.
注记本题触及数论中的kronecker定理,即设是无理数,给定实数 ,则必存在正整数和整数 ,使得 .数列的规划较为凌乱,限于笔者水平,在此不再赘述,等待读者弥补.
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2.
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