1、安徽大学2022年高级代数考研试题——答案-简书(安徽大学教务系统)--考研网上

??正如在简书的开场白，我想修改一下数学系考研真题答案。今日刚好是周日，一个星期也即将结束。因为自己当前学的是优化理论，所以代数很少用到，感触不太熟练了，当然早年学的也不太好，此答案我修改了差不多四个半小时，今后仍需坚持。还有就是如有差错，望请辅导。

一、填空题
(1)、这是触及到伴随矩阵的根柢使

用
因为，且，则有，易知

所以，使用为奇数，求得。

(2)、这是触及整系数多项式的有理根的基础常识
已知，咱们晓得有理根可所以。
简略代入，可知是的有理根。故的有理分化式为

(3)、我自个认为这题首要触及到基与基的过渡矩阵疑问
设线性改换在基下的矩阵为，因为

且

故

(4)、不妨设，咱们晓得，其间，由题意可得

故和的夹角为。

(5)、最小多项式就是初等因子组的最小公倍式
可以直接得出答案，最小多项式为

二、判别题
(6)、，很简略证明。
(7)、，正定矩阵的充要条件是主子式大于0，半正定矩阵的充要条件是一切子式非负。
(8)、，后边说反了，书上关于有理根的界说。
(9)、，大约特别指出对错零矩阵.
(10)、，线性空间的直和分化的等价界说。
(11)、，这是书上课后习题吧，我感触表达也没有啥疑问。
(12)、，有限个真子空间的并不等价于该空间，书上的课后习题。
(13)、，这是我感触最没有掌控的，自个感触是对的，它说的很宛转。
(14)、，特征矩阵等价的充要条件有许多，有相同的部队式因子，不变因子，初等因子。
(15)、，正交改换必定坚持夹角不变，可是坚持夹角不变的改换不必定是正交改换，比方仿射改换。

三、核算题
16、自个感触这是一道常规的简略题，用归纳法

其上特征方程为

求得特征根，故

17、不妨记非其次线性方程组的增广矩阵为，非线性方程组有三个线性无关的解，则。很简略发现的前两行是线性无关的。故。则必定存在，使得

很简略解得，然后也很简略得到。则

则有

18、这是一道很基础的标题，用曲折相除法，进程我就不想写了，我就写一下我算的答案吧。

可令，使得

19、这是一道基础的标题，也是需要一点核算，我也直接给出我算的答案吧
的若尔当标准形为

20、这是二次型的标题，也是需要一些核算，要核算特征值和特征向量，不过很常规，我暂时不做。

证明题

21、这道题的证明很简略，只是需要根据界说。
由所以的不变子空间，则关于任意的，有，对任意的，由所以的正交补，则，因为是正交改换，然后，那么就有，所所以正交改换的不变子空间。

22、假定有解，那么该解必定可以分化为非齐次方程的一个特解和齐次方程的基础解系，由题可知是的个线性无关的解，然后不存在的特解，然后无解。

23、
(1)、因为，则，然后，又因为，然后
(2)、

24、
(1)、这题第一问现已提示你解法，矩阵分块。

因为为正定矩阵，故也为正定矩阵，然后为负定二次型。

(2)、这儿也是把矩阵分块，因为正定，故的前阶主子式也正定

一切很显着有.

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